Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2xcos?+sin2xsin?+

1

2

cos(

π

2

+?)+

1

2

，(-

π

2

＜?＜

π

2

)，其图象过点(

π

6

，1)
（1）求f（x）的解析式，并求对称中心
（2）将函数y=f（x）的图象上各点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后各点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用降幂公式，两角差的正弦公式，辅助角公式，我们可以净函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，结合其图象过点(

π

6

，1)，我们可以求出∅值，得到f（x）的解析式，再由正弦型函数的对称性质，求出对称中心的坐标．
（2）由正弦型函数的图象的变换法则，我可以求出g（x）的解析式，进而根据正弦型函数的值域和性质得到函数g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2xcos?+sin2xsin?-

1

2

sin?+

1

2

=

1

2

sin2xcos?+

1-cos2x

2

sin?-

1

2

sin?+

1

2

=

1

2

sin2xcos?-

1

2

cos2xsin?+

1

2

=

1

2

sin(2x-?)+

1

2

（3分）
∵过(

π

6

，1)，
∴

1

2

sin(

π

3

-?)+

1

2

=1
∵-

π

2

＜?＜

π

2

∴?=-

π

6

（2分）
f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

2

，对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，

1

2

)，k∈Z（2分）
（2）∵f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

2

，（1分）
g(x)=sin(x+

π

6

)+1（2分）
x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]
当x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时，g（x）的最大值为2  （2分）
当x+

π

6

=

π

6

时，即x=0时，g（x）的最小值为

3

2

（2分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦函数的对称性质，正弦函数的图象变换，其中（1）的关键是求出f（x）的解析式，（2）的关键是求出g（x）的解析式．