Question

已知二次函数g(x)的图象经过坐标原点，且满足g(x+1)=g(x)+2x+1，设函数f(x)=mg(x)-ln(x+1)，其中m为非零常数．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)为单调减函数，求m的范围；
(Ⅲ)当m＞0，x∈[0，1]时，求f(x)的最大值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设g(x)=ax²+bx+c，g(x)的图象经过坐标原点，所以，c=0，
∵g(x+1)=g(x)+2x+1，
∴a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+2x+1，
即：ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+2)x+l，
∴a=1，b=0，g（x)=x²。
(Ⅱ)函数f(x)=mx²-ln(x+1)的定义域为（-1，+∞），
令ψ(x)=2mx²+2mx-1，
由已知f′(x)≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即ψ(x)=2mx²+2mx-l≤0在（-1，+∞）上恒成立，
①当m＞0时，不符合条件；

 ②当m＜0，ψ(x)的图象如下，

只需，
即，
∴m≥-2，
综上：-2≤m＜0。
(Ⅲ)由已知
①ψ(1)=4m-1≤0时，即0＜m≤时，f(x)′≤0在[0，1]上恒成立，
f(x)在[0，1]上递减，f(x)_max=f(0)=0；
②当m＞时，

，设，
则f（x）在，
f(0)=0，f(1)=m-ln2，
当＜m＜ln2时，f(x)_max=f(0)=0；
当m≥ln2时，f(x)_max=f(1)=m-ln2；
综上：0＜m＜ln2时，f(x)_max=f(0)=0；m≥ln2时，f(x)_max=f(1)=m-ln2．