Question

已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x²-2x-1，且g(1)=-1，令f(x)=g(x+)+mlnx+（m∈R），
(Ⅰ)求g(x)的表达式；
(Ⅱ)若x＞0使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)设1＜m≤e，H(x)=f(x)-(m+1)x，证明：对x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H(x₁)-H(x₂)|＜1。

Answer 1

解：(Ⅰ)设g(x)=ax²+bx+c，
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)²+2c=2(x-1)²-2，
所以，
又g(1)=-1，则b=，
所以。
(Ⅱ)，
当m＞0时，由对数函数性质，f(x)的值域为R；
当m=0时，对恒成立；
当m＜0时，由，
列表：

这时，，
，
所以若恒成立，则实数m的取值范围是；
故x＞0使f(x)≤0成立，实数m的取值范围是。
(Ⅲ)因为对，
所以H（x）在[1，m]内单调递减，
于是，
，
记，
则，
所以函数在(1，e]是单调增函数，
所以，，故命题成立。