Question

17．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，且AB=BC=AA₁=2，则球O的半径为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，可得AB、BC、BB₁两两互相垂直．因此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，就是以AB、BC、BB₁为长、宽、高的长方体的外接球，根据长方体的对角线公式算出球的直径，可得球O的半径．

解答 解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
∴AB、BC、BB₁两两互相垂直．
因此，以AB、BC、BB₁为长、宽、高作长方体，
该长方体的外接球经过直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点．
∵长方体的对角线长等于$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$．
∴长方体的外接球直径2R=2$\sqrt{3}$，得R=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题给出特殊的三棱柱，求它的外接球O的半径．着重考查了直三棱柱的性质、长方体的对角线公式等知识，属于中档题．