Question

19．如果对于一个集合中任意两个元素，作某种运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对此运算是封闭的．已知集合A={0，1}，B={y|y=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈z}．试判断A、B对加、减、乘、除四种运算是否封闭，为什么？

Answer 1

分析 对集合A，B中任取元素，从而分别确定元素的和，差，积，商是否还在集合中即可，注意举反例．

解答 解：∵0+1=1+0=1∈A，
0-1=-1∉A，1-0=1∈A，
0×1=1×0=0∈A，
1÷0没有意义；
∴集合A对加法，乘法封闭，对减法，除法不封闭；
设x=a+$\sqrt{2}$b，y=m+n$\sqrt{2}$，（a，b，m，n∈Z）；
x+y=a+m+$\sqrt{2}$（b+n）∈B，
x-y=a-m+$\sqrt{2}$（b-n）∈B，
xy=（am+2bn）+$\sqrt{2}$（an+mb）∈B，
当m=n=0时，x÷y没有意义；
故集合B对加法，减法，乘法封闭，对除法不封闭．

点评 本题考查了集合的化简与元素与集合的关系的应用．