题目内容
14.在锐角三角形ABC中.角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,$\overrightarrow{m}$=($\frac{1}{sinA}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$),$\overrightarrow{n}$=(cosA,-1).且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$.则b+c的取值范围是 ( )A. | (1,2] | B. | [1,2] | C. | [$\sqrt{3}$,2] | D. | ($\sqrt{3}$,2] |
分析 根据$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$得出$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0,求出A的值,再由正弦定理求出b+c的表达式,利用三角恒等变换求出b+c的取值范围.
解答 解:锐角△ABC中,a=1,
$\overrightarrow{m}$=($\frac{1}{sinA}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$),$\overrightarrow{n}$=(cosA,-1),且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$;
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{cosA}{sinA}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0,
∴$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
即tanA=$\sqrt{3}$,
解得A=$\frac{π}{3}$;
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,
∴b+c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$(sinB+sinC)
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinB+sin($\frac{2π}{3}$-B)]
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{3}{2}$sinB)
=cosB+$\sqrt{3}$sinB
=2($\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB)
=2sin(B+$\frac{π}{6}$);
∵0<B<$\frac{π}{2}$,且0<$\frac{2π}{3}$-B<$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{π}{6}$<B<$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{π}{3}$<B+$\frac{π}{6}$<$\frac{2π}{3}$;
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$<sin(B+$\frac{π}{6}$)≤1,
∴b+c∈($\sqrt{3}$,2],
即b+c的取值范围是($\sqrt{3}$,2].
故选:D.
点评 本题考查了正弦定理与三角恒等变换的应用问题,也考查了平面向量的应用问题以及特殊角的三角函数值的应用问题,是综合性题目.
A. | f(x),g(x)都是偶函数 | B. | f(x),g(x)都是奇函数 | ||
C. | f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 | D. | f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 |
A. | (-1,0] | B. | [-1,0) | C. | (-1,0) | D. | (-∞,-1] |