Question

如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC,PD=1,PC=．

（Ⅰ）求证:PD⊥面ABCD；

（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明:,

       ．……2分

       又,……4分

       ∴  PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

       过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

       ∵PD⊥面ABCD, ∴,

       又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB．

       ∴AO⊥PB,

       ∵,

       ∴,从而,

       故就是二面角A－PB－D的平面角．……………………8分

       ∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

       ∴在Rt△PDB中, ,

       又∵,    ∴,………………10分

         ∴  ．

       故二面角A－PB－D的大小为60°．…………………12分

（也可用向量解）