题目内容
已知二次函数f(x)满足f(-2)=0,且2x≤f(x)≤
对一切实数x都成立.
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn>
.
x2+4 |
2 |
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设bn=
1 |
f(n) |
4n |
3(n+3) |
分析:(1)在2x≤f(x)≤
中,取x=2可得答案;
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(-2)=0,f(2)=4,得
,可得
,根据ax2+bx+c≥2x恒成立可得△≤0,可化为关于a的不等式,可得a值,进而可得c值;
(3)由(2)可得bn,进行放缩后利用裂项相消法可得关于Sn的不等式,得到结论;
x2+4 |
2 |
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(-2)=0,f(2)=4,得
|
|
(3)由(2)可得bn,进行放缩后利用裂项相消法可得关于Sn的不等式,得到结论;
解答:(1)解:∵2x≤f(x)≤
对一切实数x都成立,
∴4≤f(2)≤4,∴f(2)=4.
(2)解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(-2)=0,f(2)=4,
∴
,可得
,
∵ax2+bx+c≥2x,即ax2-x+2-4a≥0恒成立,
∴△=1-4a(2-4a)≤0⇒(4a-1)2≤0,
∴a=
,c=2-4a=1,
故f(x)=
+x+1.…(7分)
(3)证明:∵bn=
=
>
=4(
-
),
∴Sn=b1+b2+…+bn>4[(
-
)+(
-
)+…+(
-
)]=4×(
-
)=
.
x2+4 |
2 |
∴4≤f(2)≤4,∴f(2)=4.
(2)解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(-2)=0,f(2)=4,
∴
|
|
∵ax2+bx+c≥2x,即ax2-x+2-4a≥0恒成立,
∴△=1-4a(2-4a)≤0⇒(4a-1)2≤0,
∴a=
1 |
4 |
故f(x)=
x2 |
4 |
(3)证明:∵bn=
1 |
f(n) |
4 |
(n+2)2 |
4 |
(n+2)(n+3) |
1 |
n+2 |
1 |
n+3 |
∴Sn=b1+b2+…+bn>4[(
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
n+2 |
1 |
n+3 |
1 |
3 |
1 |
n+3 |
4n |
3(n+3) |
点评:本题考查二次函数解析式的求解、数列与不等式的综合及恒成立问题,考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力,(3)问中对bn进行适当放缩然后求和是解题的关键所在.
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