题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,值域为
,即
,若
,则称
在
上封闭.
(1)分别判断函数,
在
上是否封闭,说明理由;
(2)函数的定义域为
,且存在反函数
,若函数
在
上封闭,且函数
在
上也封闭,求实数
的取值范围;
(3)已知函数的定义域为
,对任意
,若
,有
恒成立,则称
在
上是单射,已知函数
在
上封闭且单射,并且满足
,其中
(
),
,证明:存在
的真子集,
,使得
在所有
(
)上封闭.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据在
上封闭的定义,分别求出函数
,
在
上的值域,即可判断是否封闭;(2)函数
在D上封闭,则
.函数
在
上封闭,则
,得到:
.从而问题转化为:
在
两不等实根.(3)分两种情况:
和
,第一种情况显然不成立,第二种情况,因为
是单射,因此取一个
,则
是唯一的使得
的根,换句话说
考虑到
,即
,因为
是单射,则
这样就有了
.接着令
,并重复上述论证证明
..
试题解析:
(1)因为函数的定义域为
,值域为
,(取一个具体例子也可),
所以在
上不封闭.
在
上封闭
(2)函数在D上封闭,则
.函数
在
上封闭,则
,
得到: .
在
单调递增.
则
在
两不等实根.
,
故,解得
.
另解: 在
两不等实根.令
在
有两个不等根,画图,由数形结合可知,
解得.
(3)如果,则
,与题干
矛盾.
因此,取
,则
.
接下来证明,因为
是单射,因此取一个
,
则是唯一的使得
的根,换句话说
考虑到,即
,
因为是单射,则
这样就有了.
接着令,并重复上述论证证明
..
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【题目】高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占
、个人空间占
.美国高中生答题情况是:家占
、朋友聚集的地方占
、个人空间占
.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下
列联表.
在家里最幸福 | 在其它场所幸福 | 合计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
合计 |
(Ⅰ)请将列联表补充完整;试判断能否有
的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为,求随机变量
的分布列及期望.
附: ,其中
.
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |