题目内容
【题目】某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为
万元时，销售量
万件满足
（其中
，
为正常数）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本
万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
万元/万件.
（1）将该产品的利润
万元表示为促销费用万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）由利润=销售额-投入成本-促销费用，列出式子即可；
（2）由（1）可得
，利用基本不等式可得
时，
取得最大值，再结合
，分
和
两种情况讨论，可求得答案.
（1）由题意知，该产品售价为
万元，
，
将
代入得，
，
整理得.
（2）由，
因为
，所以
，当且仅当
，即时，等号成立，
所以时，
.
若，则
或
时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
若，则
时，
，
故在
上单调递增，
所以在
时，取得最大值.
即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
综上所述，当或时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
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