Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为4，F₁F₂分别是椭圆C的左，右焦点，直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A，△AF₁F₂的面积为2

6

，点P（x₀，y₀），是椭圆C上的动点w．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若∠F₁PF₂为钝角，求点P的横坐标x₀的取值范围；
（3）求

3

PF₁+

2

PA的最小值．

Answer 1

（1）∵2b=4，∴b=2，①
由题意，设A（x，x）（x＞0），则

x2

a2

+

x2

b2

=1，②
△AF₁F₂的面积为2

6

，∴cx=2

6

③，
由①②③得：a=2

3

，椭圆C的方程为：

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）设p（x，y），则 F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
且∠F₁PF₂是钝角
?PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²?（x+2

2

）²+y²+（x-2

2

）²+y²＜32
?x²+y²＜8?-

3

＜x＜

3

．
（3）椭圆

x2

12

+

y2

4

=1与y=x（x＞0）解得A（

3

，

3

），
自P作椭圆左准线的垂线，垂足为H，∵

PF1

PH

=

c

a

=

2

3

，
左准线方程：x=-3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA即为：

2

（PH+PA）
当A，P，H三点共线时，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值为|AB|，
因点A到左准线的距离为：

3

+3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA的最小值

2

（

3

+3

2

）=6+

6

．