Question

6．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=1，AD=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{{C}_{1}M}$（λ＞0），以D为原点，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
（1）求点M的坐标
（2）试探求直线BM与面ABC所成角为60°的λ的值．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y，z），则$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（$\frac{1}{2}$，-2，-1），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（x，y-2，z-1），利用$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{{C}_{1}M}$，可得（$\frac{1}{2}$，-2，-1）=λ（x，y-2，z-1），即可求点M的坐标
（2）根据直线BM与面ABC所成角为60°，利用向量的夹角公式，即可求出λ的值．

解答 解：（1）由题意，A（$\frac{1}{2}$，0，0），C₁（0，2，1），
设M（x，y，z），则$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（$\frac{1}{2}$，-2，-1），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（x，y-2，z-1），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{{C}_{1}M}$，
∴（$\frac{1}{2}$，-2，-1）=λ（x，y-2，z-1），
∴x=$\frac{1}{2λ}$，y=2-$\frac{2}{λ}$，z=1-$\frac{1}{λ}$，
∴M（$\frac{1}{2λ}$，2-$\frac{2}{λ}$，1-$\frac{1}{λ}$）；
（2）$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2λ}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{λ}$，1-$\frac{1}{λ}$），面ABC的法向量为（0，0，1）．
∵直线BM与面ABC所成角为60°，
∴sin60°=$\frac{1-\frac{1}{λ}}{\sqrt{（\frac{1}{2λ}-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{2}{λ}）^{2}+（1-\frac{1}{λ}）^{2}}}$，
∵λ＞0，
∴λ=4$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．