Question

6．已知函数f（x）=log_a$\frac{（2x+4）^{2}}{x}$，当x∈[1，4]时，f（x）≥2恒成立，则a的取值范围是1＜a≤2．

Answer 1

分析 利用对数函数的单调性，分类讨论，将问题转化，利用最值法，建立不等式，从而可求a的取值范围．

解答 解：令y=$\frac{（2x+4）^{2}}{x}$=4（x+$\frac{4}{x}$）+16，
∵x∈[1，4]，∴x+$\frac{4}{x}$∈[4，5]，
0＜a＜1时，f（x）≥2可化为a²≥y，∴a²≥5，不成立；
a＞1时，f（x）≥2可化为a²≤y，∴a²≤4，∴1＜a≤2．
故答案为：1＜a≤2．

点评 本题考查恒成立问题，考查对数函数的性质，考查解不等式，考查函数的最值，正确转化是解题的关键．