题目内容
【题目】已知点
，圆
，点
是圆上一动点， 
的垂直平分线与
交于点
.
（1）求点
的轨迹方程；
（2）设点
的轨迹为曲线
，过点
且斜率不为0的直线
与
交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，证明直线
过定点，并求
面积的最大值.
【答案】(1) 
.(2) 
.
【解析】【试题分析】（1）由于
，所以
的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线
的斜率存在时，设出直线方程和点
的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线
的方程，求得其纵截距为
，即过
.验证当斜率不存在是也过
.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.
【试题解析】
解：（1）由已知得： 
，所以
又
,所以点
的轨迹是以
为焦点，长轴长等于4的椭圆，
所以点
轨迹方程是
.
（2）当
存在时，设直线
， 
，则
，
联立直线
与椭圆得
，
得
，
∴
，
∴
，所以直线
，
所以令
，得
，
，
所以直线
过定点
，（当
不存在时仍适合）
所以
的面积
，当且仅当
时，等号成立.
所以
面积的最大值是
.
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