题目内容
(本题满分14分)设为非负实数,函数
.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)讨论函数的零点个数,并求出零点.
(Ⅰ)的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
(Ⅱ)当时,函数的零点为
;
当时,函数有一个零点,且零点为
;
当时,有两个零点
和
;
当时,函数有三个零点
和
.
解析试题分析:(Ⅰ)当时,
, ……2分
①当时,
,∴
在
上单调递增;
② 当时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
综上所述,的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
. ……6分
(Ⅱ)(1)当时,
,函数
的零点为
;
(2)当时,
,
故当时,
,二次函数对称轴
,
∴在
上单调递增,
;
当时,
,二次函数对称轴
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
∴的极大值为
,
当
,即
时,函数
与
轴只有唯一交点,即唯一零点,
由解之得
函数的零点为
或
(舍去);
当
,即
时,函数
与
轴有两个交点,即两个零点,分别为
和
;
当
,即
时,函数
与
轴有三个交点,即有三个零点,
由解得,
,
∴函数的零点为
和
.
综上可得,当时,函数的零点为
;
当时,函数有一个零点,且零点为
;
当时,有两个零点
和
;
当时,函数有三个零点
和
. ……14分
考点:本小题主要考查函数单调性的判断和单调区间的求解,含参数的二次函数单调性的判断以及函数零点个数的判断,考查学生分类讨论思想的应用.
点评:判断函数的单调性可以用单调性的定义并结合常见函数的单调性,二此函数判断单调性要结合二次函数的图象,分类讨论时要做到不重不漏.
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