题目内容

某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：
方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3≤xl≤5，3≤x2≤5．
方案二：建设一个日处理污水量为xl+x2（单位：万m3/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P=40x2；
（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：Q=
0.4(6≤x≤10)
0.6(3≤x≤5)
．
（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？
（Ⅱ）若xl+x2=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？
注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用．
（Ⅰ）如果仅考虑建设费用，若使用方案一：P1=40
x21
+40
x22
，
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40
x21
+40
x22
+80x1x2
∵3≤xl≤5，3≤x2≤5，∴P2＞P1．
故使用方案一更经济．
（Ⅱ）由题意，运行n年后，Q1=40
x21
+0.6x1×250n+40
x22
+0.6x2×250n，
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q1≥Q2，化为0.2（x1+x2）×250n≥80x1x2，
∵x1+x2=8，∴5n≥x1x2，∴5n≥x1（8-x1）．
∵x1∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-
x21
+8x1=-(x1-4)2+16，∴x1（8-x1）∈[15，16]，
∴当x1=3或5时，即x1（8-x1）=15，经过3年方案二与方案一的总费用相等．
当x1∈（3，5]时，x1（8-x1）∈（15，15]，只需经过4年方案二的总费用就少于方案一的总费用．
练习册系列答案
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1
2
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160
x
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．
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