题目内容
已知点P(-2
,0),Q(2
,0),动点N(x,y),设直线NP,NQ的斜率分别记为k1,k2,记k1?k2=-
(其中“?”可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算),坐标原点为O,点M(2,1).
(Ⅰ)探求动点N的轨迹方程;
(Ⅱ)若“?”表示乘法,动点N的轨迹再加上P,Q两点记为曲线C,直线l平行于直线OM,且与曲线C交于A,B两个不同的点.
(ⅰ)若原点O在以AB为直径的圆的内部,试求出直线l在y轴上的截距m的取值范围.
(ⅱ)试求出△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
2 |
2 |
1 |
4 |
(Ⅰ)探求动点N的轨迹方程;
(Ⅱ)若“?”表示乘法,动点N的轨迹再加上P,Q两点记为曲线C,直线l平行于直线OM,且与曲线C交于A,B两个不同的点.
(ⅰ)若原点O在以AB为直径的圆的内部,试求出直线l在y轴上的截距m的取值范围.
(ⅱ)试求出△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
分析:(Ⅰ)由斜率公式直接写出k1,k2,然后直接利用加,减,乘,除运算整理得动点N的轨迹方程;
(Ⅱ)(ⅰ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到两交点A,B的横坐标的和与积,利用原点O在以AB为直径的圆的内部得到
•
=x1x2+y1y2<0,代入根与系数关系即可求得m的范围;
(ⅱ)利用弦长公式求出弦长,由点到直线的距离公式求出三角形的高,代入面积公式后利用配方法求最值,并得到三角形面积最大时的直线方程.
(Ⅱ)(ⅰ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到两交点A,B的横坐标的和与积,利用原点O在以AB为直径的圆的内部得到
OA |
OB |
(ⅱ)利用弦长公式求出弦长,由点到直线的距离公式求出三角形的高,代入面积公式后利用配方法求最值,并得到三角形面积最大时的直线方程.
解答:解:(Ⅰ)由两点求斜率得k1=
,k2=
当“?”表示加法时:
+
=-
⇒x2+8xy-8=0(y≠0).
当“?”表示减法时:
-
=-
⇒x2=16
y+8(y≠0).
当“?”表示乘法时:
=-
⇒
+
=1(y≠0).
当“?”表示乘法时:
÷
=-
⇒x=
(y≠0);
(Ⅱ)若“?”表示乘法,曲线C为椭圆
+
=1,
设直线l:y=
x+
,(m≠0)A(x1,y1),B(x2,y2)
联立直线与椭圆的方程得:x2+2mx+2m2-4=0,
由△>0⇒0<m2<4,
…(*)
(ⅰ)因为点O在以AB为直径的圆内,故
•
=x1x2+y1y2<0,
∴x1x2+y1y2=
x1x2+
(x1+x2)+m2,
将(*)代入得m2<2⇒-
<m<
所以m得取值范围为:-
<m<
且m≠0
(ⅱ)原点O到直线l的距离d=
,
弦长|AB|=
=
S=
=
,
令f(m)=4m2-m4=-(m2-2)2+4∈(0,4]
故得当且仅当m2=2,即m=±
时,
面积的最大值Smax=2.
此时的直线l的方程为:l:y=
x±
.
y | ||
x+2
|
y | ||
x-2
|
当“?”表示加法时:
y | ||
x+2
|
y | ||
x-2
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1 |
4 |
当“?”表示减法时:
y | ||
x+2
|
y | ||
x-2
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1 |
4 |
2 |
当“?”表示乘法时:
y | ||
x+2
|
y | ||
x-2
|
1 |
4 |
x2 |
8 |
y2 |
2 |
当“?”表示乘法时:
y | ||
x+2
|
y | ||
x-2
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(Ⅱ)若“?”表示乘法,曲线C为椭圆
x2 |
8 |
y2 |
2 |
设直线l:y=
1 |
2 |
m |
联立直线与椭圆的方程得:x2+2mx+2m2-4=0,
由△>0⇒0<m2<4,
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(ⅰ)因为点O在以AB为直径的圆内,故
OA |
OB |
∴x1x2+y1y2=
5 |
4 |
1 |
2 |
将(*)代入得m2<2⇒-
2 |
2 |
所以m得取值范围为:-
2 |
2 |
(ⅱ)原点O到直线l的距离d=
2|m| | ||
|
弦长|AB|=
| ||
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(x1+x2)2-4x1x2 |
5 |
4-m2 |
S=
1 |
2 |
2|m| | ||
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5(4-m2) |
4m2-m4 |
令f(m)=4m2-m4=-(m2-2)2+4∈(0,4]
故得当且仅当m2=2,即m=±
2 |
面积的最大值Smax=2.
此时的直线l的方程为:l:y=
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2 |
2 |
点评:本题考查了轨迹方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,把原点O在以AB为直径的圆的内部转化为数量积小于0是解答该题的关键,考查了学生的计算能力,是有一定难度题目.
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