Question

（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I）.（II）（ⅰ）直线AE过定点.（ⅱ）的面积的最小值为16.

试题分析：（I）由抛物线的定义知，
解得或（舍去）.得.抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
可得，即，直线AB的斜率为，
根据直线和直线AB平行，可设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
整理可得，
直线AE恒过点.
注意当时，直线AE的方程为，过点，
得到结论：直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
得到，
设直线AE的方程为，
根据点在直线AE上，
得到，再设，直线AB的方程为，
可得，
代入抛物线方程得，
可求得，，
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值.
试题解析：（I）由题意知
设，则FD的中点为，
因为，
由抛物线的定义知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
因为，则，
由得，故，
故直线AB的斜率为，
因为直线和直线AB平行，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意，得.
设，则，.
当时，，
可得直线AE的方程为，
由，
整理可得，
直线AE恒过点.
当时，直线AE的方程为，过点，
所以直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
所以，
设直线AE的方程为，
因为点在直线AE上，
故，
设，
直线AB的方程为，
由于，
可得，
代入抛物线方程得，
所以，
可求得，，
所以点B到直线AE的距离为


.
则的面积，
当且仅当即时等号成立.
所以的面积的最小值为16.