题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D为AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；
（2）求证：平面CDB1⊥平面ABB1A1．
分析：（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证明CD⊥平面ABB1A1，再利用面面垂直的判定定理可得结论．
（2）先证明CD⊥平面ABB1A1，再利用面面垂直的判定定理可得结论．
解答：证明：（1）连接C1B交CB1于点O．
∵D，O分别是AB，C1B的中点，∴AC1∥DO，
∵AC1?平面CDB1，DO?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
（2）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥CD
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵AA1∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB1A1，
∵CD?平面CDB1，
∴平面CDB1⊥平面ABB1A1．
∵D，O分别是AB，C1B的中点，∴AC1∥DO，
∵AC1?平面CDB1，DO?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
（2）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥CD
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵AA1∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB1A1，
∵CD?平面CDB1，
∴平面CDB1⊥平面ABB1A1．
点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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