题目内容
【题目】平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体
中棱
两两垂直，那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论
中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中
表示斜边上的高，
分别表示内切圆与外接圆的半径）
直角三角形 | 直角四面体 | |
条件 |
|
|
结论1 |
| |
结论2 |
| |
结论3 |
| |
结论4 |
| |
结论5 |
|
【答案】证明见解析
【解析】
结论1：分别表示
，然后证明
结论2：在
中利用等面积法，表示出高
，然后分别表示
，再证明
结论3：利用结论2中得到的的表达式，再表示出
，再证明
结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用
进行证明
结论5：将直角四面体
补形成为以
为长、宽、高的长方体，再进行证明.
记
的面积依次为
，
平面
与所成角依次为
，
点
到平面的距离为
分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为
，
直角三角形 | 直角四面体 | |
条件 |
|
|
结论1 |
|
|
结论2 |
|
|
结论3 |
|
|
结论4 |
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|
结论5 |
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证明：设
，
过作
，垂足为
，联结
，过作
，垂足为
，
易证：
，
平面，则
，
结论1：
，
在
中，
，
s
；
结论2：
，
∴
。
同理，
，
∴
；
结论3：∵
，∴
，
又
，
∴
结论4：
，
∴
.
从而
，即
；
结论5：将直角四面体补形成为以为长、宽、高的长方体，
则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即
.
【题目】随着互联网经济逐步被人们接受，网上购物的人群越来越多，网银交易额也逐年增加，某地连续五年的网银交易额统计表，如表所示：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
网银交易额 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，
，
，得到如表：
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
（1）求
关于
的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出
关于
的回归方程；
（3）用所求回归方程预测2020年该地网银交易额.
（附：在线性回归方程
中，
，
）
【题目】某社会研究机构，为了研究大学生的阅读习惯，随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，其中男女各一半，男生中有
表示会读，女生中有
表示不会读.
（1）根据调查结果，得到如下2╳2列联表：
男 | 女 | 总计 | |
读营养说明 | |||
不读营养说明 | |||
总计 |
（2）根据以上列联表，进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？
P(K2≥k) | 0.10 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.706 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
