Question

给出以下四个命题：
①命题p：?x∈R，tanx=2；命题q：?x∈R，x²-x+1≥0．则命题“p且q”是真命题；
②“a=1”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的充要条件；
③函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
④函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=lg（x+

x2+1

）都是奇函数．
其中不正确的命题序号是

②

（把你认为不正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：①由命题p是真命题，命题q是真命题，知命题“p且q”是真命题；
②由y=cos²ax-sin²ax=cos2ax，知“a=1”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的充分不必要条件；
③根据指数函数的值域能判断③的正误；
④由奇函数的性质知函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=lg（x+

x2+1

）都是奇函数．

解答：解：①∵命题p：?x∈R，tanx=2是真命题，
命题q：?x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥0是真命题，
∴命题“p且q”是真命题，故①正确；
②∵y=cos²ax-sin²ax=cos2ax，
∴“a=1”⇒“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”，
“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”⇒“a=±1”，故②不正确；
③根据指数函数的值域知道函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同，
故③正确；
④∵y=

1

2

+

1

2x-1

，

1

2

+

1

2x-1

+

1

2

+

1

2-x-1

=0，
∴y=

1

2

+

1

2x-1

是奇函数．
∵y=lg（x+

x2+1

），lg（x+

x2+1

）+lg（-x+

x2+1

）=0，
∴y=lg（x+

x2+1

）是奇函数．故④正确．
故答案为：②．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，注意答案要求的是填定不正确命题的序号．