Question

给出以下四个命题：
①函数f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，f′（x）为f（x）的导函数，令a=log₃2，b=

1

2

，则f（a）＜f（b）
②若f(x+2)+

1

f(x)

=0，则函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
③在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，且满足S_n+1=

1

2

S_n+2，则数列{a_n}是等比数列；
④函数y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值为2．
则正确命题的序号是

①②

．

Answer 1

分析：①先求f′（

π

3

）的值，再利用导数判断函数f（x）的单调性，利用单调性比较大小即可；②利用已知抽象表达式证明f（x+4）=f（x）即可；③利用递推关系式计算数列的前三项，即可发现此命题错误；④利用均值定理求函数最值要注意条件即“一正二定三等号”是否成立

解答：解：①∵f′(x)=cosx+2f′(

π

3

)，∴f′(

π

3

)=cos

π

3

+2 f′(

π

3

)，∴f′（

π

3

）=-

1

2

，
∴f′（x）=cosx-1≤0，∴函数f（x）为R上的减函数，
∵a=log₃2，b=

1

2

=log₃

3

，∴a＞b
∴f（a）＜f（b），①正确
②∵f(x+2)=-

1

f(x)

，∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②正确；
③∵a₁=1，且满足S_n+1=

1

2

S_n+2，∴a₂=

3

2

，a₃=

3

4

，显然此数列的前三项不成等比数列，③错误；
④y=3^x+3^-x=y=3^x+

1

3x

≥2

3x× 1 3x

=2，（当且仅当3^x=1，即x=0时取等号），故x＜0时，y=3^x+3^-x无最小值为，④错误
故答案为①②

点评：本题综合考查了利用导数判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小的方法，函数周期性得到定义及其证明，数列递推关系的应用及等比数列的定义，均值定理求最值的方法和条件等知识，有一定难度