Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，

π

2

]时，使不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，可得 f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．利用增函数的定义可证
f（x）是增函数．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，令t=sinθ+cosθ，由θ∈[0，

π

2

]，
可得 m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

在t∈[1，

2

]上恒成立，故m应大于或等于t+

2

t

的最大值，利用单调性求得
t+

2

t

的最大值．

解答：解：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由题意知f（x₁-x₂）＜0，则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函数．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)．        
又由f（x）为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m．
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]．
原命题等价于 t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

] 恒成立，
∴(2-t)m＞2t-t2+

4

t

-2，即m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

，
令g(t)=t+

2

t

，g(t)在[1，

2

]上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．

点评：本题考查抽象函数的性质，函数的值域及函数的恒成立问题，把问题转化为 m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

在
t∈[1，

2

]上恒成立，是解题的难点．