题目内容
(本小题满分12分)
设函数
(Ⅰ) 当时,求函数的最大值;
(Ⅱ)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
(1) 的极大值为,此即为最大值;(2) 。
解析试题分析:(1)依题意,知的定义域为(0,+∞),当时,,
……………2分
令=0,解得.(∵)
当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减.
所以的极大值为,此即为最大值 ……………4分
(2)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,
设,则.令,.
因为,, 所以(舍去),,…… 6分
当时,,在(0,)上单调递减,
当时,,在(,+∞)单调递增
当时,=0,取最小值.
则既……………10分
所以,因为,所以(*)
设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.
因为,所以方程(*)的解为,即,解得………12分
(直接看出x=1时,m=1/2但未证明唯一性的给3分)
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及方程解的情况。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况,得出方程解的存在情况。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
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