题目内容
【题目】如图，多面体
中，四边形
是
为钝角的平行四边形，四边形
为直角梯形，
且
.
（1）求证：
；
（2）若点
到平面
的距离为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）利用勾股定理证得
，结合
，证得
平面
，根据线线平行证得
平面，由此证得
.判断出四边形为菱形，由此证得
，由此证得
平面
，从而证得
.
（2）利用第一问的结论，判断出线
与平面所成角，结合点
到平面
的距离为
，求得
的长，然后通过解三角形，把相应的线面角的正弦值求出.
（1）在
中，
，所以
又因为，所以平面，因为
所以平面，所以，
在平行四边形中，且
，所以平行四边形为菱形
于是
所以平面，而
平面，所以.
（2）因为平面且垂足为
，所以
为直线与平面所成角.
因为
平面
，
平面，所
，
所以到平面的距离为
到平面的距离.
所以
平面
平面
所以平面
平面且交线为
过作
，则
，所以
所以
，所以
在
中，
，
所以
.所以直线与平面所成角的正弦值.
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