题目内容
已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x)?.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=
x,求f(x)在[-1,3]的解析式;
(3)在(2)的条件下.求使f(x)=-
在[0,2 011]上的所有x的个数.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=
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(3)在(2)的条件下.求使f(x)=-
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分析:(1)由已知等式f(x+2)=-f(x),用x+2替换x,结合函数周期性的定义和已知条件,不难得到f(x)是以4为一个周期的周期函数.
(2)根据函数在[0,1]上的表达式结合函数为奇函数,可得当-1≤x≤0时,f(x)=
x.再设1<x≤3,则得f(x-2)=
(x-2)=-f(x),从而可得f(x)在区间(1,3]上的表达式,综上所述,可得f(x)在[-1,3]的解析式.
(3)当x∈[-1,3)时,f(x)=-
的解是x=-1,再结合f(x)是以4为周期的函数可得:f(x)=-
的所有解为x=4n-1 (n∈Z),再解不等式,通过找整数解得到使f(x)=-
在[0,2 011]上的所有x的个数.
(2)根据函数在[0,1]上的表达式结合函数为奇函数,可得当-1≤x≤0时,f(x)=
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(3)当x∈[-1,3)时,f(x)=-
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解答:解(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),…(2分)
∴f(x)是以4为一个周期的周期函数.…(4分)
(2)解 当0≤x≤1时,f(x)=
x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=
(-x)=-
x.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-
x,即f(x)=
x.…(6分)
故f(x)=
x(-1≤x≤1)…(8分)
再设1<x≤3,则-1<x-2≤1,∴f(x-2)=
(x-2),
又∵f(x-2)=-f(x),∴-f(x)=
(x-2),可得f(x)=-
(x-2)(1<x≤3).
综上所述,f(x)在[-1,3]的解析式为:f(x)=
…(10分)
(3)由f(x)=-
,当x∈[-1,3)时,解得x=-1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(x)=-
的所有解为x=4n-1 (n∈Z).…(12分)
令0≤4n-1≤2011,则
≤n≤503,
又∵n∈Z,∴1≤n≤503 (n∈Z),
∴在[0,2 011]上共有503个x使f(x)=-
.…(14分)
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),…(2分)
∴f(x)是以4为一个周期的周期函数.…(4分)
(2)解 当0≤x≤1时,f(x)=
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设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=
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∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-
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故f(x)=
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再设1<x≤3,则-1<x-2≤1,∴f(x-2)=
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又∵f(x-2)=-f(x),∴-f(x)=
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综上所述,f(x)在[-1,3]的解析式为:f(x)=
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(3)由f(x)=-
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∵f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(x)=-
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令0≤4n-1≤2011,则
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又∵n∈Z,∴1≤n≤503 (n∈Z),
∴在[0,2 011]上共有503个x使f(x)=-
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点评:本题以分段函数为例,求函数的周期并求函数的解析式,着重考查了函数的奇偶性、周期性和方程解的个数讨论等知识,属于基础题.

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