题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求该函数的值域;
(2)求不等式的解集;
(3)若对于
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
或
(3)
【解析】
(1)利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域;(2)利用换元法并结合一元二次不等式的性质,即可求出不等式的解集;(3)将分离于不等式的一端,对另一端求它的最值,进而可以求出
的取值范围。
(1)令,
,则
,
函数转化为
,
,
则二次函数,在
上单调递减,在
上单调递增,
所以当时,
取到最小值为
,当
时,
取到最大值为5,
故当时,函数
的值域为
.
(2)由题得,令
,
则,即
,
解得或
,
当时,即
,解得
,
当时,即
,解得
,
故不等式的解集为
或
.
(3)由于对于
上恒成立,
令,
,则
即在
上恒成立,
所以在
上恒成立,
因为函数在
上单调递增,
也在
上单调递增,
所以函数在
上单调递增,它的最大值为
,
故时,
对于
恒成立。
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