题目内容

15、已知二次函数f（x）的导函数f′（x）=2x-9，且f（0）的值为整数，当x∈（4，5]时，f（x）的值为整数的个数有
1
个．
分析：根据函数模型设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），根据导函数建立等式，求出a和b，然后根据当x∈（4，5]时，最值的差小于1则存在f（x）的值为整数最多只有一个，又f（5）=-20+c∈Z，只有1个整数f（0）．
解答：解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f'（x）=2ax+b=2x-9，∴a=1，b=-9．
有f（x）=x2-9x+c=（x-4.5）2-4.52+c，当x∈（4，5]时，
f（x）max-f（x）min=f（5）-f（4.5）=0.25，又f（5）=-20+c∈Z，故只有1个整数f（5）．
故答案为：1
点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数的值，属于基础题．
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函数的图象经过原点，且满足f（2）=0，求实数m的值．
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（2013•广州一模）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
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（2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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