Question

（2013•珠海二模）已知函数f(x)=

x2-ax+1 4x-4×2x-a

，

x≥a x＜a

，
（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a≥-4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令2^x=t，则有0＜t＜2^a，f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为t2-4×

t

2a

＜1，分离参数可得

4

2a

＞t-

1

t

在t∈（0，2^a）上恒成立，求出右边的最值，即可得到结论；
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值；当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值，从而可得函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围．

解答：解：（1）因为x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，所以令2^x=t，则有0＜t＜2^a，
所以f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为t2-4×

t

2a

＜1，
即

4

2a

＞t-

1

t

在t∈（0，2^a）上恒成立，--------------------------------------（2分）．
令g(t)=t-

1

t

，t∈(0，2a)，则g′(t)=1+

1

t2

＞0，------------------------------（3分）．
所以g(t)=t-

1

t

在（0，2^a）上单调递增，-------------（4分）．
所以g(t)＜g(2a)=2a-

1

2a

，所以有：

4

2a

≥2a-

1

2a

．
所以

5

2a

≥2a，所以（2^a）²≤5，所以2a≤

5

-----------------------------------------（5分）．
所以a≤log2

5

．----------------------------（6分）．
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，即f(x)=(x-

a

2

)2+1-

a2

4

，----------（7分）．
①当

a

2

≤a，∴a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在[a，+∞）单调递增，
所以f（x）_min=f（a）=1；-------------------------------------------------（8分）．
②当

a

2

＞a，∴-4≤a＜0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在[a，

a

2

)单调递减，在(

a

2

，+∞)单调递增，所以f(x)min=f(

a

2

)=1-

a2

4

．
所以由①②可得：当x≥a时有：f(x)min=

1- a2 4 ，-4≤a＜0 1，a≥0

．---------------------（9分）．
当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），则h(t)=t2-

4

2a

t=(t-

2

2a

)2-

4

4a

，
③当0＜

2

2a

＜2a，∴2^2a＞2，∴a＞

1

2

时，h（t）在(0，

2

2a

)单调递减，在(

2

2a

，2a)上单调递增h(t)min=h(

2

2a

)=-

4

4a

；---------------------------------------（10分）．
④当

2

2a

≥2a，∴2^2a≤2，∴a≤

1

2

时，h（t）在（0，2^a）单调递减，h（t）∈（h（2^a），h（0））=（4^a-4，0）
所以，此时，h（t）在（0，2^a）上无最小值；---------------------------------------------（11分）．
所以由③④可得当x＜a时有：当a＞

1

2

时，f(x)min=h(t)min=-

4

4a

；
当a≤

1

2

时，无最小值．------------------------------（12分）．
所以，由①②③④可得：
当a＞

1

2

时，因为-

4

4a

＜1，所以函数f(x)min=-

4

4a

；---------------------------（13分）．
当0≤a≤

1

2

时，因为4^a-4＜0＜1，函数f（x）无最小值；--------------------------------（14分）．
当-4≤a＜0时，4a-4＜-3≤1-

a2

4

，函数f（x）无最小值．-------------------------（15分）．
综上所述，当a＞

1

2

时，函数f（x）有最小值为-

4

4a

；当-4≤a≤

1

2

时，函数f（x）无最小值．
所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为(

1

2

，+∞)．---------（16分）．

点评：本题考查分段函数，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分离参数法，属于中档题．