题目内容
5．
某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为$\frac{3}{4}$，乙队猜对前两条的概率均为$\frac{4}{5}$，猜对第3条的概率为$\frac{1}{2}$．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？
分析 （Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图中x两侧的矩形的面积相等列式求得x值，则中位数可求，再由200×（0.003+0.0015）×20求得进入第二阶段的学生人数；
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则ξ服从B（3，$\frac{3}{4}$）分布，由此求得Eξ，进一步求得最后抢答阶段甲队得分的期望，然后求出Eη，再求出最后抢答阶段乙队得分的期望，比较期望后得答案．
解答 解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，
（0.0015+0.019）×20+（x-140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，
则ξ～B（3，$\frac{3}{4}$），
∴E（ξ）=$3×\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$．
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[$\frac{9}{4}-（3-\frac{9}{4}）$]×20=30，
∵P（η=0）=$（\frac{1}{5}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{50}$，
P（η=1）=$2×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+（\frac{1}{5}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{9}{50}$，
P（η=2）=$（\frac{4}{5}）^{2}×\frac{1}{2}+2×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=\frac{12}{25}$，
P（η=3）=$（\frac{4}{5}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{16}{50}$，
∴Eη=$0+1×\frac{9}{50}+2×\frac{12}{25}+3×\frac{16}{50}=\frac{21}{10}$．
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[$\frac{21}{10}-（3-\frac{21}{10}）$]×20=24．
∴120+30＞120+24，
∴支持票投给甲队．
点评 本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |