Question

13．在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边，锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，锐角β的终边与射线x-7y=0（x≥0）重合．
（1）求tanα和tanβ的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件得 $sinα=\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，由α为锐角，可求$cosα=\frac{3}{{\sqrt{10}}}$，即可求得$tanα=\frac{1}{3}$，根据锐角β的终边与射线x-7y=0（x≥0）重合，即可求得tanβ的值．
（2）由两角和与差的正切函数可求tan（α+β），tan（2α+β）的值，由$0＜α＜\frac{π}{2}$，y=tanx在$（0，\frac{π}{2}）$且$tanα＜1=tan\frac{π}{4}$，可求$0＜α＜\frac{π}{4}$，$0＜β＜\frac{π}{4}$，从而可得$0＜2α+β＜\frac{3π}{4}$，即可求2α+β的值．

解答 解：（1）由条件得 $sinα=\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，
∵α为锐角，故：cosα＞0且$cosα=\frac{3}{{\sqrt{10}}}$，…（2分）
所以$tanα=\frac{1}{3}$…（3分）
因为锐角β的终边与射线x-7y=0（x≥0）重合，
所以$tanβ=\frac{1}{7}$…（6分）
（2）∵$tanα=\frac{1}{3}$，$tanβ=\frac{1}{7}$，
∴$tan（{α+β}）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{{\frac{1}{3}+\frac{1}{7}}}{{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{7}}}=\frac{1}{2}$…（7分）
∴$tan（{2α+β}）=tan[{α+（α+β）}]=\frac{tanα+tan（α+β）}{1-tanα•tan（α+β）}=\frac{{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{2}}}=1$…（8分）
∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，y=tanx在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递增，
且$tanα＜1=tan\frac{π}{4}$，∴$0＜α＜\frac{π}{4}$，…（10分）
同理$0＜β＜\frac{π}{4}$，∴$0＜2α+β＜\frac{3π}{4}$…（11分）
从而$2α+β=\frac{π}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查了两角和与差的正切函数，任意角的三角函数的定义，属于基本知识的考查．