Question

（2011•广州模拟）已知函数f(x)=sin(2x+

3π

2

 )(x∈R)，给出下面四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称；
④函数f（x）在区间[0，

π

2

]上是增函数，
其中正确命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由于f（x）=sin（2x+

3π

2

）=-cos2x，利用y=-cos2x的周期性、奇偶性、对称性与单调性即可判断①②③④．

解答：解：∵f（x）=sin（2x+

3π

2

）=-cos2x，
∴函数f（x）的最小正周期为π，①正确；
函数f（x）是偶函数②正确；
∵f（0）=-1，f（

π

2

）=1，
∴f（0）≠f（

π

2

），
∴③函数f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称是错误的；
∵0≤x≤

π

2

，故0≤2x≤π，而y=cosx在[0，π]单调递减，
∴f（x）=-cos2x在区间[0，

π

2

]上是增函数，即④正确．
综上所述，①②④正确．
故选C．

点评：本题考查余弦函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性，着重考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．