Question

16．已知f（x）=x²-16x+q+3
（1）若函数在[-1，1]上的最大值为2，求q的值
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）配方后，根据函数在[-1，1]上的最大值为2，求出q的值即可；
（2）分0＜q≤8与8＜q＜10两个范围，由x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51，求出q的值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-16x+q+3=x²-16x+64+q-61=（x-8）²+q-61，
由函数在[-1，1]上的最大值为2，得到f（-1）=2，
即81+q-61=2，
解得：q=-18；
（2）当0＜q≤8时，f（x）最小值为f（8）=-51，
解得：q=10，不合题意，舍去；
当8＜q＜10时，f（x）最小值为f（q）=-51，
解得：q=9或者q=6（舍去），
∴q=9，
综上所述：存在常数q=9，符合题意．

点评 此题考查了二次函数的性质，以及函数最值及其几何意义，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．