Question

【题目】已知由自然数组成的元集合，非空集合,且对任意的，都有.

(1)当时，求所有满足条件的集合;

(2)当时，求所有满足条件的集合的元素总和;

(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是，集合的交替和为.当时，求所有满足条件的集合的“交替和”的总和.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）确定后可知有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果；

（2）确定可知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和，加和得到结果；

（3）由、和时交替和总和的规律可得到当时，交替和总和为，代入即可求得结果.

（1）当时，

是的非空子集，且时， 中有偶数个元素

中有两个元素时，或中有四个元素时，

所有满足条件的集合有：，，

（2）当时，

是的非空子集，且时， 中有偶数个元素

当中有两个元素时，元素之和为：

当中有四个元素时，元素之和为：

当中有六个元素时，元素之和为：

当中有八个元素时，元素之和为：

所有满足条件的集合的元素总和为：

（3）当，，交替和的总和为：

当时，由（1）知，交替和的总和为：

当时，或或或或或或，交替和的总和为：

……以此类推，当时，交替和的总和为：

当时， 所求交替和的总和为：