题目内容
【题目】已知点P在曲线C:上,曲线C在点P处的切线为
,过点P且与直线
垂直的直线与曲线C的另一交点为Q,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点P的纵坐标为_______.
【答案】1
【解析】
设,
,则:
,
,利用导数求得切线
的斜率为
,即可求得直线
斜率为
,表示出直线
的方程:
,联立直线与抛物线方程可得
,利用韦达定理可得
,由OP⊥OQ可得
,整理得
,解方程
,问题得解。
依据题意直作出图象,如下:
设,
,则:
,
.
因为
所以曲线C在点P处的切线斜率为:,
又过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q,所以
且,所以
所以直线的方程为:
联立直线与抛物线方程可得:,
整理得:.
所以
又因为OP⊥OQ,所以,即:
,整理得:
.
所以,解得:
所以
所以点P的纵坐标为
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