Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）需要观察题设条件进行恒等变形，构造a_n-1=c（a_n-1-1）利用迭代法计算出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项，观察知应用错位相减法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知a_n=（a-1）c^n-1+1．接合题设条件得出，0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．然后再用反证法通过讨论得出c的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设得：n≥2时，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
当n=1时，a₁=a也满足上式．
故所求的数列{a_n}的通项公式为：a_n=（a-1）c^n-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(

1

2

)n.Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n，

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4++n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1．
∴Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n
所以∴Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，则0＜（1-a）c^n-1＜1．
因为0＜a₁=a＜1，∴0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．
由于c^n-1＞0对于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1．由函数f（x）=c^x的图象知，当n→+∞时，c^n-1→+∞，
所以cn-1＜

1

1-a

不能对任意n∈N₊恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1

点评：本题主要考查数列的概念、数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运送知识分析问题和解决问题的能力．第三问中特值法与反证法想接合，对做题方向与方法选取要求较高．是一个技能性较强的题．