Question

(本题满分15分) 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ)  在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P

的直线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且

PQ与C在点P处的切线垂直?

若存在, 求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.

Answer 1

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ)  解: 设抛物线C的方程是x² = ay,

则,        即a = 4 .

故所求抛物线C的方程为x² = 4y .             …………………(5分)

(Ⅱ) 解:设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) ,

则抛物线C在点P处的切线方程是： ,

直线PQ的方程是：  .

将上式代入抛物线C的方程, 得：,

故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,

所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),

×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1

＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1

＝－2y₁ －－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)

＝(y₁＋1)²－＝＝0,

故 y₁＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .  经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)