Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点关于直线的对称点在圆上，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）焦点坐标得，再由离心率得，从而可得，于是有椭圆标准方程；

（2）设，将代入，化简得一元二次方程，从而可得的横坐标，由中点坐标公式得中点的横坐标，由直线方程得纵坐标，然后由对称性得点坐标，利用点在圆上可求得．

解：（1）设椭圆的焦距为，则

因为椭圆的离心率为，所以，即

因为椭圆的左焦点为，所以，所以

所以椭圆的方程为

（2）设，将代入，化简得

，因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以，解得

所以.

所以.

因为，关于直线的对称，所以，

解得

因为点在圆上，所以，即，

解得.

又，所以或.