Question

11．已知函数g（x）=asinx+bcosx+c．
（1）当b=0时，求g（x）的值域；
（2）当b=0，c=0时，设F（x）=g（x）+cos2x，求实数a与正整数k，使得F（x）在（0，kπ）内恰有2017个零点；
（3）当a=3，b=2，c=1时，若实数m、n、p使得mg（x）+ng（x-p）=1对任意实数x恒成立，求$\frac{cosp}{2017m+3n}$的值．

Answer 1

分析 （1）当b=0时，g（x）=asinx+c，对a讨论，分a=0，a＞0，a＜0，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；
（2）运用二倍角的余弦公式，结合正弦函数的图象，由y=sinx在（0，kπ）的图象特点可得若h（t）=0的两根均小于1，则零点个数必为偶数个，由题意可得两根中必有一个为1或-1，分别讨论两根的情况，即可得到a和k，满足条件；
（3）将f（x）解析式前两项变形利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，表示出g（x）与g（x-p），代入已知等式中变形后根据x为R时恒成立列出关系式，联立即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）当b=0时，g（x）=asinx+c，
当a=0时，g（x）的值域为{c}；
当a＞0时，当sinx=1时，取得最大，sinx=-1取得最小值．
即有g（x）的值域为[c-a，c+a]；
当a＜0时，当sinx=1时，取得最小，sinx=-1取得最大．．
即有g（x）的值域为[c+a，c-a}．
（2）当b=0，c=0时，设F（x）=g（x）+cos2x=asinx+1-2sin²x，
令sinx=t，h（t）=at+1-2t²，
由y=sinx在（0，kπ）的图象特点可得若h（t）=0的两根均小于1，
则零点个数必为偶数个，则有两根中必有一个为1或-1，
若有一个根为1，则a=1，另一个根为-$\frac{1}{2}$，由于一个周期内有3个零点，
则k=2×672+1=1345，恰有2017个零点；
若有一个根为-1，则a=-1，另一个根为$\frac{1}{2}$，由于一个周期内有3个零点，
则k=2×672+1=1345，恰有2018个零点．
综上可得，实数a=1，正整数k=1345，使得F（x）在（0，kπ）内恰有2017个零点；
（3）由题设可得g（x）=3sinx+2cosx+1=$\sqrt{13}$sin（x+θ）+1，
g（x-p）=$\sqrt{13}$sin（x+θ-p）+1，其中cosθ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{13}}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴mg（x）+ng（x-p）=1可化成$\sqrt{13}$msin（x+θ）+$\sqrt{13}$nsin（x+θ-p）+m+n=1，
即$\sqrt{13}$（m+ncosp）sin（x+θ）-$\sqrt{13}$nsinpcos（x+θ）+（m+n-1）=0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有$\left\{\begin{array}{l}{m+ncosp=0①}\\{nsinp=0②}\\{m+n-1=0③}\end{array}\right.$，
若n=0，则式①与式③矛盾；
故此n≠0，由②式得到：sinp=0，
当cosp=1时，有矛盾，故cosp=-1，
由①③知m=n=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{cosp}{2017m+3n}$=-$\frac{1}{1010}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数恒成立问题，同时考查正弦函数的图象和性质，熟练掌握公式和正弦函数的图象是解本题的关键．