Question

若关于x的方程x2-zx+1-

15

i=0（其中z∈C）有实数根，在使得复数z的模取到最小时，该方程的解为

{2，

1- 15 i

2

}或{-2，

-1+ 15 i

2

}

．

Answer 1

分析：当x为实数时，根据z的模的解析式，利用基本不等式求出z的模时，实数x=±2，求出对应的z值，从而得到对应的方程，解方程求得该方程的解．

解答：解：当x为实数时，由方程x2-zx+1-

15

i=0（其中z∈C）可得
z=

x2+1- 15 i

x

=x+

1

x

-

15

x

i．
它的模为

(x+ 1 x )2+ 15 x2

=

x2+ 16 x2 +2

≥2

10

，
当且仅当x²=4，即 x=±2时，取等号．
故满足条件的复数z=

5

2

-

15

2

i，或 z=-

5

2

+

15

2

i．
当z=

5

2

-

15

2

i 时，方程即x2-(

5

2

-

15

2

i)x+1-

15

i = 0，
此时，方程的一个根为x=2，另一个根为 x=

1- 15 i

2

．
当 z=-

5

2

+

15

2

i  时，方程即 x2-(-

5

2

+

15

2

i)x+1-

15

i = 0．
此时，方程的一个根为 x=-2，另一个根为 x=

-1+ 15 i

2

．
综上，该方程的解为{2，

1- 15 i

2

}，或{-2，

-1+ 15 i

2

}．
故答案为：{2，

1- 15 i

2

}，或{-2，

-1+ 15 i

2

}．

点评：本题考查虚数系数的一元二次方程的解法，复数模的定义和求法，基本不等式的应用，属于中档题．