Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点，轴上存在一点满足，.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相切于第一象限上的点，且分别与轴、轴交于两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根据向量的坐标运算可先求出的坐标为，再由向量垂直求出，即可写出方程（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，根据相切可知，求得，根据两点间距离公式得，准化为关于的式子，利用均值不等式求最值.

（1）设椭圆的焦距为，

则点的坐标为，点的坐标为，

设点的坐标为，

，，

∵，则，

∴，则点的坐标为，

∵直线与直线垂直，且点，

所以，，

∵，∴，得，所以，

因此，椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，

联立，得，

即，

，

即，

即,，

，

，

当且仅当，即时“=”成立，

∴的最小值为3.