题目内容
12.在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD在△ABC的内部,且BD:DC:AD=2:3:6,则∠BAC=$\frac{π}{4}$.分析 设BD=2x,则DC=3x,AD=6x,利用直角三角形中的边角关系求得tan∠BAD和tan∠CAD的值,再利用两角和的正切公式求得tan∠BAC的值,可得∠BAC的值.
解答 解:在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD在△ABC的内部,且BD:DC:AD=2:3:6,
设BD=2x,则DC=3x,AD=6x,故tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2x}{6x}$=$\frac{1}{3}$,tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3x}{6x}$=$\frac{1}{2}$,
故tan∠BAC=tan(∠BAD+∠CAD)=$\frac{tan∠BAD+tan∠CAD}{1-tan∠BAD•tan∠CAD}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{2}}$=1,
再结合∠BAC∈(0,π),求得∠BAC=$\frac{π}{4}$,
故答案为:$\frac{π}{4}$.
点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系,两角和的正切公式,属于基础题.
练习册系列答案
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