题目内容
【题目】已知椭圆C: 的左、右焦点为F1,F2,设点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A,B,P为椭圆C上三点,满足,记线段AB中点Q的轨迹为E,若直线l:y=x+1与轨迹E交于M,N两点,求|MN|.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得,即可求出
,即可求出椭圆的标准方程;
(2)方法一:设,利用向量
,求得点
的坐标,根据点
在椭圆上,把直线的方程和椭圆方程,利用根与系数的关系、韦达定理,利用弦长公式,即可求解;
方法二:设,根据题意和点
在椭圆上,化简整理可得
,再根据中点坐标公式,消去
线段
的中点
的轨迹方程,再设
两点点坐标为
,根据弦长公式即可求出.
试题解析:
(1)由已知得2c=4,b=2,故c=2,a=2.
故椭圆C的标准方程为+
=1.
(2)法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),∵=
+
,∴
=
,故点P坐标为
.
由于点P在椭圆C上,
故有+
=1,
+
+
=1,
即+
+
=1,即
+
=0.
令线段AB的中点坐标为Q(x,y),则
因A,B在椭圆C上,故有
相加有+
=2.
故+
=2,
由于+
=0,
故+
=2,即Q点的轨迹E的方程为
+
=1.
联立得3x2+4x-2=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=-,
x3·x4=-.
故|MN|=|x3-x4|=
=
.
法二 设A(2cos α,2sin α),B(2
cos β,2sin β),
∵=
+
,
∴=
,故点P坐标为
.
∵点P在椭圆上,
∴(3cos α+4cos β)2+(3sin α+4sin β)2=25,
∴cos αcos β+sin αsin β=0,∴cos(α-β)=0,
∴α-β=,
∴B(2sin α,-2cos α),
∴AB中点Q的坐标为(cos α+
sin α,sin α-cos α),
设Q的点坐标为(x,y),
∴x=cos α+
sin α,y=sin α-cos α,
∴=cos2α+2cos αsin α+sin2α=1+2cos αsin α,
y2=cos2α-2cos αsin α+sin2α=1-2cos αsin α,
∴+y2=2,
即线段AB中点Q的轨迹为E的方程为+
=1.
设M,N两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
由消y,
整理得3x2+4x-2=0,
∴x1+x2=-,x1x2=-
,
∴|MN|=|x1-x2|=
×
=
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知函数f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+
(ω>0),经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
x | ① |
| |||
f(x) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
(1)请直接写出①处应填的值,并求函数f(x)在区间上的值域;
(2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A+)=1,b+c=4,a=
,求△ABC的面积.