Question

设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（1）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，与函数y=f（x）的图象交于点P（x₀，f（x₀）），求证：函数y=f（x）在点P处的切线过点（b，0）．
（2）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求切线的斜率，进而得切线方程，由此可得结论；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而借助于研究函数的最小值，解决恒成立问题．注意分类讨论．

解答：解：（1）由已知P(

a

2

，

a2

4

(b-

a

2

))，…（1分）y'=3x²-（2a+2b）x+ab，…（2分）
所求切线斜率为3(

a

2

)2-(2a+2b)•

a

2

+ab=-

a2

4

，…（3分）
切线方程为y-

a2

4

(b-

a

2

)=-

a2

4

(x-

a

2

)，令y=0，解得x=b，
所以，函数y=f （x）过点P的切线过点（b，0）…（5分）
（2）因为a=b，所以y=f（x）=x（x-a）²，
y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-

a

3

)，…（6分）
当a＞0时，函数y=f(x)在(-∞，

a

3

)上单调递增，在（

a

3

，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
所以，根据题意有
即

4 27 a3＜2a2 a+1＜2a2

解之得1＜a＜

27

2

或a＜-

1

2

，结合a＞0，所以1＜a＜

27

2

…（9分）
当a＜0时，函数y=f(x)在(

a

3

，+∞)单调递增．                  …（10分）
所以，根据题意有f（1-a）＜2a²，…（11分）
即（1-a）（1-a-a）²＜2a²，整理得4a³-6a²+5a-1＞0，（*）
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0
∴g（a）在区间（-∞，0）单调递增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式无解．…（13分）
综上可知：1＜a＜

27

2

．                               …（15分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，注意运用最值法解决恒成立问题．