在三维空间直角坐标系中.对其中任何一向量$\overrightarrow{x}$=(x1.x2.x3).定义范数||x||.它满足以下性质:①||x||≥0.当且仅当x为零向量时.不等式取等号,②对任意实数λ.||λx||=|λ|•||x||(注:此处点乘号为普通的乘号.无点乘意义),③||x||+||y||≥||x+y||．试求解以下问题:在二维平面直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在三维空间直角坐标系中，对其中任何一向量$\overrightarrow{x}$=（x₁，x₂，x₃），定义范数||x||，它满足以下性质：
①||x||≥0，当且仅当x为零向量时，不等式取等号；
②对任意实数λ，||λx||=|λ|•||x||（注：此处点乘号为普通的乘号，无点乘意义）；
③||x||+||y||≥||x+y||．
试求解以下问题：
在二维平面直角坐标系中，有向量$\overrightarrow{x}$=（x₁，x₂），下面给出的几个表达式中，可能表示向量$\overrightarrow{x}$的范数是②⑤（把所有正确的答案的序号都填上）．
①$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}$+2x₂²；
②$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}}$；
③$\sqrt{2{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$；
④$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2}$；
⑤$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$．

分析利用定义，对选项分别进行判断，即可得出结论．

解答解：由（1）知当且仅当X为零向量时，|X|=0 因此可以排除④．
$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}$+2x₂²满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；但不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故不正确；
$\sqrt{2{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；但不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故不正确；
现在探索一下选择支②是否满足性质（3），$\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}$+$\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}$≥$\sqrt{（a+m）^{2}+2（b+n）^{2}}$?2abmn≤a²n²+b²m²这是显然成立的，所以选择支满足性质（3），又选择支显然满足性质（2）；所以选择支能表示X的范数
同理可以知道⑤也可以表示向量X的范数．
所以经过验证后可以知道正确的是②⑤．
故答案为：②⑤．

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