题目内容
13．若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | 8 | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | 2 |
分析 化简得b=-（a2-3lna），d=c+2；从而得（a-c）2+（b-d）2=（a-c）2+（3lna-a2-（c+2））2表示了点（a，3lna-a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解．
解答 解：∵（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，
∴b=-（a2-3lna），d=c+2；
∴（a-c）2+（b-d）2=（a-c）2+（3lna-a2-（c+2））2，
其表示了点（a，3lna-a2）与点（c，c+2）的距离的平方；
作函数y=3lnx-x2与函数y=x+2的图象如下，
∵（3lnx-x2）′=$\frac{3}{x}$-2x=$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$；
故令$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$=1得，x=1；
故切点为（1，-1）；
结合图象可知，
切点到直线y=x+2的距离为$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故（a-c）2+（b-d）2的最小值为8；
故选：B．
点评 本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是线段CD上一点，满足|$\overrightarrow{CE}$|=2||$\overrightarrow{DE}$|，如图所示，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．