Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心． 若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的对称中心为

 

；
（2）f(

1

2014

)+f(

2

2014

)+…+f(

2013

2014

)=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用三次函数对称中心的意义，令f^″（x）=0，解得x，再计算f（x），即可得到对称中心；
（2）由（2）和对称直线的意义可知f(x0)+f(1-x0)=2f(

1

2

)=2，即可得出．

解答：解：（1）f′（x）=x²-x+3，f^″（x）=2x-1，令f^″（x）=0，解得x=

1

2

．
而f(

1

2

)=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+3×

1

2

-

5

12

=1，
∴函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的对称中心为（

1

2

，1）．
（2）由（2）可知f(x0)+f(1-x0)=2f(

1

2

)=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2

2014

)+…+f(

2013

2014

)=2013．
故答案分别为：（

1

2

，1），2013．

点评：本题考查了三次函数对称中心的意义、求法及其应用，属于难题．