Question

【题目】设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+ ＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.[﹣ ，+∞）
C.[﹣1，+∞）
D.[﹣2，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），

∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，

设g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）=0，

∴函数g（x）为奇函数．

∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+ ＜4x，

g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣ ，

故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，

若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，

则f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，

即g（m+1）＜g（﹣m），

∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣ ，

所以答案是：A．

【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．