题目内容
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是
,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1-BD-A的大小;
(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.


(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1-BD-A的大小;
(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.
(1)详见解析;(2)
;(3)
.


试题分析:(1)设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1中点,根据中位线定理可知PD∥B1C,
根据线面平行即可得证;(2)由于AA1⊥底面ABC,且BD⊥AC,所以A1D⊥BD,可知∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角,在三角形A1DA 中,tan∠A1DA=


解:(1)设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1中点,
∵D为AC中点,∴PD∥B1C,
又∵PD

(2)∵正三棱住ABC-A1B1C1,∴AA1⊥底面ABC,
又∵BD⊥AC,∴A1D⊥BD,∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角,
∵AA1=





(3)由(2)作AM⊥A1D,M为垂足,
∵BD⊥AC,平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,∴BD⊥平面A1ACC1,
∵AM

∵A1D∩BD=D,∴AM⊥平面A1DB,连接MP,
则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角,
∵AA1=









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