Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且，，平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据面面垂直的性质定理可知，平面，又，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出；

（2）作于，过作交于，即可知平面，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，根据向量法即可求出．

（1）证明：∵平面平面，平面平面，，

在平面内，∴平面，又∵，

∴平面，而在平面内，

∴平面平面；

（2）作于，则平面，过作交于，

如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系：

设，则，，，，

故，，，

设平面的一个法向量为，则，

则可取，

设平面的一个法向量为，则，

则可取，

∴，∴.

故二面角的平面角的正弦值为.